Topoloji tam bir  tanmyla soyut  kmeler ailesi zerinde  verilmi bir  kural
tanmlar, bu kural soyut kmelerin aklk yada  kapallk  zelliklerini ierir
ve bu kurallarn  bulunduu uzaylara bir  topoloji yada bir  topolojik uzay  ad
verilir. Topolojinin  3b  geometri  ile  dorudan  bir  balants  bulunmamakla
birlikte   diferansiyel   geometri   ve   cebirsel   geometri   gibi   matematik
disiplinleri zerinden  bu balant  salanr.  Topoloji nin  etimolojik  kkeni
Latince uzay  anlamna  gelen  topos  (bu arada  lat.  topos  kelimesinin  bizim
dilimizde birebir  anladmz  uzay kelimesini  tam  anlamyla  karlamadn
dnmekteyim) ve bilim anlamna gelen logos  kelimelerinden oluur. Yine de  bu
uzayn  bizim  gnlk  kullanmda  anladmz  uzay  kastetmediini  belirtmem
lazm, rnein  matematiksel  anlamda say  dorusu  ad verdiimiz  reel  eksen
yani zerinde reel  saylarn olduu  doru bir uzaydr  ve bu  uzaya reel  uzay
ad verilir. Ben bu reel uzayda  bir kural tanmlayabilirim  (rnein (a,b) gibi
aralklar  ak  kmeler  olsun  gibi.)  ve  bu  kuralma  uyan  tm   kmelerin
oluturduu kmeye, gerekli  topolojik aksiyomlar da  salad zaman  topoloji
adn veririm. Bu ayn zamanda  bir boyutlu (hailz to  anes:) ) reel uzay  adn
alr,  istersem  bu  ekilde  iki   doruyu  dik  olarak  kesitirip   kartezyen
koordinat sistemi adn  vereceim bir  sistem tanmlarm  (istee bal  olarak
eik olarak da  kesitirip kartezyen  olmayan bir  sistem tanmlayabilirdim  ama
burada pratik  olmas asndan  bunu grmezden  gelelim)  ve bu  uzay |R  x  |R
sral  ikililerinden   oluan   bir   kmedir,   bunu   ksaca   |R   ile   de
gsterebilirim. imdi  bu  kme  zerinde bir  kural  tanmlayabilirim  (rnein
(a,b]x(a,b] lerden oluan kutucuklar ak kmeler olsun) ve bu kurala gre  yine
yukarda  belirtildii  gibi  topolojimi  oluturabilirim.  (Kartezyen)   arpm
uzaylarnda tanmlanan bu topolojiler kartezyen anlamda  kutucuklardan  olutuu
zaman bunlara kutu topolojisi ad verilir. Ancak benim  topolojilerimin ille  bu
ekilde olmas  gerekmez  (rnein  kural  {1}x(a,b)  eklindeki  izgiler  ak
kmeler olsun),  kutu topolojisi  olmad  halde kartezyen  arpml  uzaylarda
tanmlanm topolojilere  arpm topolojisi  ad verilir  ( arpm  topolojileri
yine derin bi konudur  bu konuda varl  bence ok manasz  gelen bir ?  (byk
pi harfi) eklinde  izdm (projeksiyon)  fonksiyonu vardr.  Neyse daha  ileri
gidip |R^3  ,  |R^4,  ...  eklinde istediim  boyutta  arpm  uzaylar  ve  bu
uzaylar zerinde topolojiler tanmlayabilirim.  Burada son  bir ayrnt daha var
bu da  sonsuz  boyutlu  topolojik uzaylarn  zellikleri  hakknda.  Aslnda  bu
topoloji ile  deil daha  ok kmeler  teorisi  hakknda o  da yle  ki  sonsuz
boyutu   tanmlamak   iin    sonsuz   bir    kartezyen   arpmn    tanmlanp
tanmlanamayaca konusu. Bu  konuda bir matematiki  bu kartezyen arpmn  var
olabileceini kabul  ederek, tmevarm  yoluyla  bu arpm  oluturan  herhangi
bir kmenin bo  kme olmas durumunda  arpmn sonucunun da  bo kme  olaca
aksi halde bildiimiz  alldk ekilde  kmenin tanmlanabileceini  sylyor.
Burada bir ispat yerine sadece bir kabul sz konusu, en  azndan benim  bildiim
elle tutulur bir ispat  yok sadece kmelerin  sonsuz kartezyen  arpmlarnn da
var olabilecei  kabul edilmi.  Buraya  kadar anlatlanlar  topolojinin  teorik
matematikle ilgili ksmlar,  ilgin gelebilir ama  topolojinin dolayl  yoldan
geometriler  zerinde   uygulamalar   var.   Dolaysyla   ucundan   uygulamal
matematik  de  topolojiye  bulam  durumda.  Bu  uygulamalardan  en   bilindik
rneklerden  birisi  dm  kuram.  Dm  kuram  kapal  bir  ipte  (iki  ucu
birletirilmi, paket lastii gibi) hangi trden  dmlerin  alabilecei yada
alamayacan  inceliyor.  Mantksal  adan  zaten  dmsz  ve  kapal  bir
ilmee (lastie) yaplacak her dnmle elde edilecek  dm  (aslnda dmden
burada kastedilen  iplerin  zerine  binmesi  sonucu  oluan  karmak  yaplar)
grn  olarak  ne  kadar  karmak  olursa  olsun  zlebilirdir.  Ancak  ben
lastii kesip bildiimiz  bi dm attktan  sonra yeniden birletirebilirim  ve
bu lastik  kapalyken  alamayacak bir  dm  olur. ok  ayrntl  bilmemekle
birlikte yanl  hatrlamyorsam eer  ilmek zerinde  ipin birbirini  zerinden
geerek kestii  noktalara bakarz,  eer  bu noktalarda  ayn tel  iki  noktada
birden  stten  geiyorsa  o  zaman   bu  dm  zlebilirdir,  daha   dorusu
topolojik anlamda  hi dm  atlmam ilmee  edeerdir. rnein  bu tr  bir
yapya  1  adn  verelim.  Daha  sonra  dm  karmaklatrlabilir,  rnein
bildiimiz basit dmde her  tel bir alttan  bir de stten  geer ve iki  komu
ilmekte hibir  ip  ayn  anda stten  gememektedir.  Bu  oluturulabilecek  en
basit dmdr  ve  bu yapya  da  2 adn  verelim.  Dmler  karmaklatka
numaralandrmaya  devam  edebiliriz.  imdi   elimizde  bize  nas   yapldn
bilmediimiz bir dm  verildiinde bunun zlebilir  olup olmadn  (bundan
sonra  zlebilirlik   yerine   1   numaral  yapya   denk   olup   olmadn
aratracaz)  yada  en  sadeletirilmi  ekliyle  hangi  yapya  denk  olduunu
aratrabiliriz. Bundan  baka  cebirsel  geometri ile  topolojinin  de  ucundan
bulat graf teori  ad verilen  bir matematik  disiplini daha  vardr, bu  da
oumuzun bildii oklidyen iki boyutlu dzlemde verilmi bir  haritann  en az 4
renk kullanlarak  boyanabilecei probleminin  ait olduu  matematik  konusudur.

Hazr  matematikten   konu   almken  belki   bi   ara  Cantor   ve   Russell
paradokslarna da deinip matematiin acaba gerekten de  yeterince salam  olup
olmadn tartabilirim bi ara vakit olursa...
[b]Erik/Resident[/b] 